数学中的Sin和Cos是什么意思? - jues

数学中的Sin和Cos是什么意思?

jues posted @ 2013年3月14日 18:27 in 数学 , 5564 阅读

问:数学中的Sin和Cos是什么意思?
答:sin, cos, tan 都是三角函数,分别叫做“正弦”、“余弦”、“正切”。

在初中阶段,这三个三角函数是这样解释的:
在一个直角三角形中,设∠C=90°,∠A, B, C 所对的边分别记作 a,b,c,那么对于锐角∠A,它的对边 a 和斜边 c 的比值 a/c 叫做∠A的正弦,记作 sinA;它的邻直角边 b 和斜边 c 的比值 b/c 叫做∠A的余弦,记作 cosA;它的对边 a 和邻直角边 b 的比值 a/b 叫做∠A的正切,记作 tanA。

在高中阶段,这三个三角函数是这样解释的:
在一个平面直角坐标系中,以原点为圆心,1 为半径画一个圆,这个圆交 x 轴于 A 点。以 O 为旋转中心,将 A 点逆时针旋转一定的角度α至 B 点,设此时 B 点的坐标是(x,y),那么此时 y 的值就叫做α的正弦,记作 sinα;此时 x 的值就叫做α的余弦,记作 cosα;y 与 x 的比值 y/x 就叫做α的正切,记作 tanα。

引:诱导公式
常用的诱导公式有以下几组:
     1.sinα^2 +cosα^2=1
     2.sinα/cosα=tanα
     3.tanα=1/cotα
公式一:
  设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等:
     sin(2kπ+α)=sinα
     cos(2kπ+α)=cosα
     tan(2kπ+α)=tanα
     cot(2kπ+α)=cotα
公式二:
  设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系:
     sin(π+α)=-sinα
     cos(π+α)=-cosα
     tan(π+α)=tanα
     cot(π+α)=cotα
公式三:
  任意角α与 -α的三角函数值之间的关系:
     sin(-α)=-sinα
     cos(-α)=cosα
     tan(-α)=-tanα
     cot(-α)=-cotα
公式四:
  利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系:
     sin(π-α)=sinα
     cos(π-α)=-cosα
     tan(π-α)=-tanα
     cot(π-α)=-cotα
公式五:
  利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系:
     sin(2π-α)=-sinα
     cos(2π-α)=cosα
     tan(2π-α)=-tanα
     cot(2π-α)=-cotα
公式六:
  π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系:
     sin(π/2+α)=cosα
     cos(π/2+α)=-sinα
     tan(π/2+α)=-cotα
     cot(π/2+α)=-tanα
     sin(π/2-α)=cosα
     cos(π/2-α)=sinα
     tan(π/2-α)=cotα
     cot(π/2-α)=tanα
     sin(3π/2+α)=-cosα
     cos(3π/2+α)=sinα
     tan(3π/2+α)=-cotα
     cot(3π/2+α)=-tanα
     sin(3π/2-α)=-cosα
     cos(3π/2-α)=-sinα
     tan(3π/2-α)=cotα
     cot(3π/2-α)=tanα
     (以上k∈Z)

一般的最常用公式:
     口诀:奇变偶不变,符号看象限
     Sin(A+B)=SinA*CosB+SinB*CosA
     Sin(A-B)=SinA*CosB-SinB*CosA
     Cos(A+B)=CosA*CosB-SinA*SinB
     Cos(A-B)=CosA*CosB+SinA*SinB
     Tan(A+B)=(TanA+TanB)/(1-TanA*TanB)
     Tan(A-B)=(TanA-TanB)/(1+TanA*TanB)
同角三角函数的关系(即同角八式)
  平方关系:
     sin^2(α)+cos^2(α)=1
     tan^2(α)+1=sec^2(α)
     cot^2(α)+1=csc^2(α)
  积的关系:
     sinα=tanα*cosα
     cosα=cotα*sinα
     tanα=sinα*secα
     cotα=cosα*cscα
     secα=tanα*cscα
     cscα=secα*cotα
  倒数关系:
     tanα*cotα=1
     sinα*cscα=1
     cosα*secα=1
  商数关系:
     sina/cosa=tana
     cosa/sina=cota
  直角三角形ABC中,角A的
     正弦值就等于角A的对边比斜边: sina=y/r
     余弦值等于角A的邻边比斜边: cosa=x/r
     正切值等于对边比邻边: tana=y/x

三角函数恒等变形公式
  两角和与差的三角函数
     cos(α+β)=cosα*cosβ-sinα*sinβ
     cos(α-β)=cosα*cosβ+sinα*sinβ
     sin(α±β)=sinα*cosβ±cosα*sinβ
     tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα*tanβ)
     tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα*tanβ)
  辅助角公式
     Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t),其中
     sint=B/(A^2+B^2)^(1/2)
     cost=A/(A^2+B^2)^(1/2)
  倍角公式
     sin(2α)=2sinα*cosα=2/(tanα+cotα)
     cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)
     tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)]
  三倍角公式
     sin(3α)=3sinα-4sin^3(α)
     cos(3α)=4cos^3(α)-3cosα
  半角公式
     sin(α/2)=±√((1-cosα)/2)
     cos(α/2)=±√((1+cosα)/2)
     tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα
  降幂公式
     sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2
     cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=vercos(2α)/2
     tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))
   万能公式
     sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]
     cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]
     tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]
  积化和差公式
     sinα*cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]
     cosα*sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]
     cosα*cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]
     sinα*sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]
  和差化积公式
     sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]
     sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]
     cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]
     cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]
  其他
     sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0
     cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0 以及
     sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2
     tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0





摘于: http://www.ruyhouse.com/Article/42


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